Induksi Matematika itu adalah cara atau sebagai pembuktian sebuah pernyataan tertentu, diberlakukan untuk bilangan asli. Pembuktiannya terdiri dari 2 cara seperti,
Menunjukkan jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.
Menunjukkan kalau pernyataan itu diberlakukan untuk bilangan n, maka pernyataan untuk itu berlaku juga untuk bilangan n + 1.
Prinsip Induksi yang Sederhana
Induksi Matematika ini bisa kita artikan seperti ini
Misal untuk setiap bilangan Real N kita memiliki pernyataan P(n) yg hasilnya bisa benar (true) atau salah (false).
Misal>>
P(1) kita nyatakan sebagai true (benar).
Jika P(n) adalah true (benar), maka P(n + 1) hasilnya juga true (benar)
jadinya P(n) true (benar) untuk setiap bilangan Real (asli) n.
Langkah pertama kita sebut sebagai Langkah Dasar, sedangkan Langkah kedua kita sebut sebagai Langkah Induktif.
Contoh 1
menggunakana induksi matematika untuk mengetes atau mengetahui jikalau jumlah n adalah bilangan ganjil, bilangan + positih pertama adalah n2.
Mari kita buktikan:
1. Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah 1 bilangan ganjil positif pertama adalah 19 = 1. Hasilnya menjadi true (benar) krn jumlah 1 bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
cara induksi:
jikalau p(n) adalah true (benar), seperti
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
adalah true (benar )>>>(hipotes dari induksi)
[perlu digaris bawahi jika bilangan ganjil positif ke-n adalah (
2n – 1)]
Kita juga harus membuktikan jika p(n +1) hasilnya adalah true (benar) seperti,
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
Adalah benar. Hal ini dapat kita buktikan spt dibawah ini:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
Krn langkah basis & langkah induksi ke2 telah diketahui jika hasilnya true (benar) jadi jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Prinsip Induksi yang Dirapatkan atau dipadatkan.
Misal p(n) adalah pernyataan tentang bilangan bulat & kita ingin mengetahui lebih lanjut jika p(n) hasilnya true (benar) untuk semua bilangan bulat n3 n0. Untuk membuktikan,kita hanya perlu tahu jika:
p(n0) hasilnya true (benar), & untuksemua bilangan bulat n3 n0,
jika p(n) dinyatakan true (benar) maka p(n+1) juga hasilnya true (benar)
Contoh>>
Untuk semua bilangan bulat bukan-negatif n, kita buktikan dengan induksi matematik jika
30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1
Cara menyelesaikan:
1>Basis induksi.
Untuk n = 0 (bukanlah bil bulat neg pertama), kita memiliki:
30 = 30+1 – 1
Ini jelas benar, sebab
30 = 1
= 30+1 – 1
= 31 – 1
= 3– 1
= 1
2>Langkah induksi.
Jikalau untuk semua bilangan bulat Bukanlah-negatif n,
30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1
Kita nyatakan benar (hipotes induksi). Kita harus membuktikan bila,
30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1
Hasilnya sama benar atau true. Kita buktikan sebagai berikut:
30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = (30 + 31 + 32 + … + 2n) + 2n+1
= (2n+1 – 1) + 2n+1 (adalah H induksi)
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2 . 2n+1) – 1
= 2n+2 – 1
= 2(n+1) + 1 – 1
Karena langkah pertama dan keduanya menyatakan hasilnya true (benar), jadi untuk semua bilangan bulat bukanlah-negatif n, karena telah kita buktikan jika
30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1