Cara Efektif Tekun dan Rajin Belajar Matematika

Bagi sebagian siswa, matematika merupakan pelajaran yang sulit. Walau pun begitu, matematika merupakan salah satu mata pelajaran dengan jam belajar yang banyak dalam seminggu, baik tingkat SD, SMP mau pun SMA. Terlebih lagi matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang masuk dalam ujian nasional, baik tingkat SD, SMP atau pun SMA.

Belajar matematika tidak seperti belajar lainnya. Matematika merupakan pelajaran berhitung, jadi jangan disamakan cara belajar antara mata pelajaran membaca dan berhitung. Belajar matematika sangat kurang efektif kalau hanya sekedar membaca kemudian menghafalkan rumus. Lalu bagaimana cara efektif belajar matematika?

Berikut ini adalah cara belajar matematika yang efektif.

1. Perbanyak berlatih soal

Memperbanyak berlatih soal adalah suatu cara agar bisa memahami rumus. Memperbanyak mengerjakan latihan soal juga bisa membiasakan kita dalam mengerjakan soal. Soal yang digunakan untuk berlatih juga jangan hanya satu tipe saja, pelajari juga berbagai tipe soal. Ketika ada ulangan dan terdapat soal yang sulit namun tipe soal sama seperti tipe soal yang pernah dipelajari, kita bisa terbantu karena punya pengalaman mengerjakan soal dengan tipe seperti itu.

2. Memahami, bukan hanya menghafalkan

Matematika merupakan mata pelajaran yang tidak jauh dari yang namanya angka dan rumus. Bisa berhitung dengan lancar namun lupa rumus, atau ingat rumus tapi salah menghitung bisa keliru dalam mengerjakan soal. Jadi, perlu adanya pemahaman rumus dan peningkatan kemmpuan berhitung. Jika lupa rumus saat mengerjakan PR, masih bisa buka buku. Tapi kalau kejadiannya adalah lupa rumus ketika ulangan? Oleh sebab itu, rumus bukan hanya sekedar dihafal, tapi juga perlu dipahami.

3. Jangan sering menggunakan kalkulator

Jika soal kimia atau fisika yang terkadang hitungannya rumit, tidak masalah menggunakan kalkulator untuk mempercepat penghitungan. Dalam UN pun mata pelajaran fisika dan kimia, ada soal-soal yang hitungannya tidak rumit.

Matematika memang pelajaran berhitung, namun jangan biasakan mengguakan kalkulator ketika mengerjakan soal. Membiasakan menghitung tanpa kalkulator bisa melatih kemampuan berhitung. Memperbanyak latihan berhitung bisa berguna untuk meningkatkan kecepatan berhitung. Daripada langsung menggunakan kalkulator, lebih baik menggunakan kalkulator untuk mencocokan hasil yang telah dihitung dengan cara manual. Intinya, jangan biasakan menggunakan kalkulator agar kemampuan dan kecepatan menghitung bisa ditingkatkan.

4. Bertanya jika ada kesulitan

Jangan sungkan-sungkan untuk menanyakan hal yang dianggap sulit yang berhubungan dengan mata pelajaran matematika. Bisa tanya kepada teman atau guru yang bersangkutan, asal yang sampai tanya kepada mbah dukun.

5. Jangan lupa waktu

Ada yang menganggap bahwa matematika itu mengasyikkan. Keasyikkan belajar matematika bisa membuat lupa waktu. Waktu berjam-jam bisa terasa sebentar.

Itulah cara belajar matematika yang efektif.

Read More →

Tokoh Matematika dari Timur Tengah

Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: محمد بن موسى الخوارزمي) adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Lahir sekitar tahun780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad.

Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi.

Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis,Algarismo yang berarti digit.

Biografi

Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar beliau adalah Abū ‘Abdu llāh (Arab: أبو عبد الله) atau Abū Ja’far.

Sejarawan al-Tabari menamakan beliau Muhammad bin Musa al-Khwārizmī al-Majousi al-Katarbali (Arab: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ). Sebutan al-Qutrubbulli mengindikasikan beliau berasal dari Qutrubbull, kota kecil dekat Baghdad.

Tentang agama al-Khawārizmī', Toomer menulis :

Sebutan lain untuk beliau diberikan oleh al-Ṭabarī, "al-Majūsī",  ini mengindikasikan ia adalah pengikut Zoroaster. Ini mungkin terjadi pada orang yang berasal dari Iran. Tetapi, kemudian buku Al-Jabar beliau menunujukkan beliau adalah seorang Muslim Ortodok, jadi sebutan Al-Tabari ditujukan pada saat ia muda, ia beragama Majusi.

Dalam Kitāb al-Fihrist Ibnu al-Nadim, kita temukan sejarah singkat beliau, bersama dengan karya-karya tulis beliau. Al-Khawarizmi menekuni hampir seluruh pekerjaannya antara 813-833. Setelah Islam masuk ke Persia, Baghdad menjadi pusat ilmu dan perdagangan, dan banyak pedagang dan ilmuwan dari Cina dan India berkelana ke kota ini, yang juga dilakukan beliau. Dia bekerja di Baghdad pada Sekolah Kehormatan yang didirikan oleh Khalifah Bani Abbasiyah Al-Ma'mun, tempat ia belajar ilmu alam dan matematika, termasuk mempelajari terjemahan manuskrip Sanskerta dan Yunani.

Karya

Karya terbesar beliau dalam matematika, astronomi, astrologi, geografi, kartografi, sebagai fondasi dan kemudian lebih inovatif dalam aljabar, trigonometri, dan pada bidang lain yang beliau tekuni. Pendekatan logika dan sistematis beliau dalam penyelesaian linear dan notasi kuadrat memberikan keakuratan dalam disiplin aljabar, nama yang diambil dari nama salah satu buku beliau pada tahun 830 M, al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala (Arab الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) atau : "Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan”, buku pertama beliau yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12.

Pada buku beliau, Kalkulasi dengan angka Hindu, yang ditulis tahun 825, memprinsipkan kemampuan difusi angka India ke dalam perangkaan Timur Tengah dan kemudian Eropa. Buku beliau diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, Algoritmi de numero Indorum, menunjukkan kata algoritmi menjadi bahasa Latin.

Patung Al-Khawarizmi di depan Fakultas Matematika Universitas Teknologi Amrikabir, Teheran, Iran

Beberapa kontribusi beliau berdasar pada Astronomi Persia dan Babilonia, angka India, dan sumber-sumber Yunani.

Sistemasi dan koreksi beliau terhadap data Ptolemeus pada geografi adalah sebuah penghargaan untuk Afrika dan Timur –Tengah. Buku besar beliau yang lain, Kitab surat al-ard ("Pemandangan Bumi"; diterjemahkan oleh Geography), yang memperlihatkan koordinat dan lokasi dasar yang diketahui dunia, dengan berani mengevaluasi nilai panjang dari Laut Mediterania dan lokasi kota-kota di Asia dan Afrika yang sebelumnya diberikan oleh Ptolemeus.

Ia kemudian mengepalai konstruksi peta dunia untuk Khalifah Al-Ma’mun dan berpartisipasi dalam proyek menentukan tata letak di Bumi, bersama dengan 70 ahli geografi lain untuk membuat peta yang kemudian disebut “ketahuilah dunia”. Ketika hasil kerjanya disalin dan ditransfer ke Eropa dan Bahasa Latin, menimbulkan dampak yang hebat pada kemajuan matematika dasar di Eropa. Ia juga menulis tentang astrolab dan sundial.

Patung perunggu Al Khawarizmi di Uzbekistan

Buku I - Aljabar

al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Arab : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة Buku Rangkuman Kalkulasi dengan Melengkapkan dan Menyeimbangkan) adalah bukumatematika yang ditulis tahun 830.

Buku tersebut merangkum definisi aljabar. Buku ini diterjemahkan ke dalam Bahasa Latin berjudul Liber algebrae et almucabala oleh Robert of Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerard of Cremona.

Metode beliau dalam menyelesaikan linear dan notasi kuadrat dilakukan dengan meredusi notasi ke dalam 6 bentuk standar (dimana b dan c adalah angka positif).

Sebuah halaman dari Aljabar al-Khwārizmī

• Angka ekual kuadrat (ax² = c)
• Angka ekual akar (bx = c)
• Kuadrat dan akar ekual (ax² + bx = c)
• Kuadrat dan angka akar ekual (ax² + c = bx)
• Akar dan angka kuadrat ekual (bx + c = ax²)
• Kuadrat ekual akar (ax² = bx)

Dengan membagi koefisien dari kuadrat dan menggunakan dua operasi aljabar (Arab : الجبر penyimpanan atau melengkapkan) dan al-muqābala (menyeimbangkan). Aljabar adalah proses memindahkan unit negatif, akar dan kuadrat dari notasi dengan menggunakan nilai yang sama di kedua sisi. Contohnya, x² = 40x - 4x² disederhanakan menjadi 5x² = 40x. Al-muqābala adalah proses memberikan kuantitas dari tipe yang sama ke sisi notasi. Contohnya, x² + 14 = x + 5 disederhanakan menjadi x² + 9 = x.

Beberapa pengarang telah menerbitkan tulisan dengan nama Kitāb al-ǧabr wa-l-muqābala, termasuk Abū Ḥanīfa al-Dīnawarī, Abū Kāmil (Rasāla fi al-ǧabr wa-al-muqābala), Abū Muḥammad al-‘Adlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, Ibnu Turk, Sind bin ‘Alī, Sahl bin Bišr, dan Šarafaddīn al-Ṭūsī.

Buku 2 - Dixit algorizmi

Buku besar kedua beliau adalah tentang aritmatika, yang bertahan dalam Bahasa Latin, tapi hilang dari Bahasa Arab yang aslinya. Translasi dilakukan pada abad ke-12 oleh Adelard of Bath, yang juga menerjemahkan tabel astronomi pada 1126.

Pada manuskrip Latin, biasanya tak bernama, tetapi umumnya dimulai dengan kata : Dixit algorizmi ("Seperti kata al-Khawārizmī"), atau Algoritmi de numero Indorum ("al-Kahwārizmī pada angka kesenian Hindu"), sebuah nama baru di berikan pada hasil kerja beliau oleh Baldassarre Boncompagni pada 1857. Kitab aslinya mungkin bernama Kitāb al-Jam’a wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind ("Buku Penjumlahan dan Pengurangan berdasarkan Kalkulasi Hindu").

Buku-buku lain karya al-Khawārizmī adalah :

Rekonstruksi Planetarium, Astronomi, Kalender Yahudi.

Read More →

Pengertian Rekursi dengan Contohnya

Rekursi adalah proses pengulangan barang-barang dengan cara kesamaan diri. Sebagai contohnya, saat dua cermin berada paralel antara satu dengan yang lain, gambar yang tertangkap adalah suatu bentuk rekursi tak-terbatas. Istilah ini memiliki makna beragam bergantung kepada ragam disiplin mulai dari linguistik sampai logika. Penggunaan paling umum dari rekursi yaitu dalam matematika dan ilmu komputer, di mana ia mengacu kepada suatu metode mendefinisikan fungsi yang mana fungsi tersebut menggunakan definisinya sendiri.

Secara spesifik hal ini mendefinisikan suatu instansi tak-terbatas (nilai fungsi), menggunakan ekpresi terbatas yang mana beberapa instansi bisa merujuk kepada instansi lainnya, tapi dengan suatu cara di mana tidak ada perulangan atau keterkaitan tak-terbatas dapat terjadi. Istilah ini juga digunakan secara umum untuk menjelaskan suatu proses pengulangan objek dengan cara kesamaan-diri.

Dalam matematika dan ilmu komputer, kelas dari objek atau metode memperlihatkan perilaku rekursif bila mereka dapat didefinisikan oleh dua properti berikut:

1. Suatu kasus (atau beberapa kasus) dasar sederhana, dan
2. Sejumlah aturan yang mengurangi kasus-kasus lainnya sampai ke kasus dasarnya.

Sebagai contoh, berikut ini adalah definisi rekursif dari leluhur seseorang:

• Orang tua seseorang adalah leluhur seseorang (kasus dasar).
• Orang tua dari suatu leluhur juga merupakan leluhur-nya (langkah rekursi).

Bilangan Fibonacci adalah contoh klasik dari rekursi:

• Fib(0) adalah 0 [kasus dasar]
• Fib(1) adalah 1 [kasus dasar]
• Untuk semua integer n > 1: Fib(n) adalah (Fib(n-1) + Fib(n-2)) [definisi rekursif]

Banyak aksioma matematika berdasarkan aturan-aturan rekursif. Sebagai contohnya, definisi formal dari bilangan asli dalam teori himpunan berbunyi: 1 adalah bilangan asli, dan setiap bilangan asli memiliki sebuah suksesor, yang juga merupakan bilangan asli. Dengan kasus dasar ini dan aturan rekursif, seseorang dapat membuat himpunan dari semua bilangan asli.
Gambaran humornya berbunyi: "Untuk memahami rekursi, pertama anda harus memahami rekursi." Atau mungkin yang lebih akurat, dari Andrew Ploktin: "Jika anda telah mengetahui apa itu rekursi, cukup ingat jawabannya. Kalau tidak, cari orang yang berdiri paling dekat dengan Douglas Hofstadter selain anda; lalu tanya dia rekursi itu apa."
Objek matematika yang didefinisikan secara rekursif termasuk fungsi, himpunan, dan khususnya fraktal.

Read More →

Penjelasan Relasi Matematika Diskrit

Jika di kehidupan nyata, ada yang namanya suatu hubungan (relasi) antara individu dan individu didalam suatu kelompok. Ataupun hubungan unsur lain terhadap unsur/ hal lain, misal, hubungan antar tetangga, hubungan mahasiswa dengan  mata kuliah ataupun hubungan dosen dengan pelajaran yang dia punya, dan lain-lain.

Di materi Relasi ini, saya akan membahas tentang hubungan/ relasi, hubungan antara dua unsur/himpunan yang tidak kosong dengan satu aturan hubungan atau perkaitan tertentu, Penjelasan yang saya akan jelaskan meliputi definisi dan fungsi, operasi dan sifatnya. 

Definisi

Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian hubungan  biner R antar himpunan E dan F, merupakan himpunan  dari E × F / R ⊆(E × F).

Example:

Misal E  = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }. Jika didefinisikan relasi R dari E ke F  menggunakan aturan seperti, (e,fb) ∈ R jika faktor dari f, dan Seperti yang kalian pelajari sebelumnya atau yang sudah kalian ketahui,

E × F menjadi :

E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}

Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E  ke F  yang mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Hubungan/Relasi bisa juga  terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan  pada E,  di himpunan E, yang merupakanhimpunan E × E

Example: 

Misal R a/ relasi pada E = {2, 3, 4, 8, 9} yang diumpamakan :

(x, y) ∈ Rdan bila x habis dapat dibagi oleh y.

Relasi R pada E  yang menggikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.

R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}

Example about Relation/ contoh relasi : 

E :NAMA, SUBYEK/ Domain

F :OBYEK/ Kodomain

R :Relasi atau hubungan antar makanan favorit

Sifat-Sifat Relasi 

Relasi atau hubungan pada himpunan punya suatu sifat, sifat-sifat yang ada seperti..

1. Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan E disebut refleksif jika (e, e) ∈ R untuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga hubungan relasi R pada himpunan E diketahui tidak refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a, a) ∉ R.

Example: 

Misalkan E = {1, 2, 3, 4}, dan sifat Relasi R adalah  ‘≤’ yang dimisalkan himpunan E, jadi
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
Kelihatan bukan jika  (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) adalah bagian unsur dari R. Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif

Example : 

Misalkan E = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita misalkan relasi R yang ada di himpunan A memiliki aturan:

(e, f) ∈ R jika e faktor prima dari f

Perlu diteliti/ diketahuin jika(4, 4) ∉ R .

Jadi, jelas bahwa R tidak  dan bukan bersifat refleksif.

Sifat refleksif memiliki ciri khas dalam pembuktian suatu relasi, seperti:

• Relasi yang memiliki sifat refleksif memiliki matriks dengan unsur utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Relasi yang memiliki sifat refleksif jika dibuktikan dalam bentuk graf terarah jadi  di graf tersebut akan ditemukan sebuah  loop pada setiap simpulnya.

2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R di himpunan E memiliki sifat simetri jika 

(e, f) ∈ R, jika setiap e, f ∈ E , jadi (e, f) ∈ R.
Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan tidak simetri jika (e,f) ∈ R sementara itu (e, f) ∉ R.

Pada suatu relasi R dihimpunan E mempunyai anti simetri dan misalkan untuk setiap

 a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R diakui jika a = b.

    Perhatikan bila istilah/ definisi simetri dan anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi  bisa punya kedua sifat itu sekaligus. tapi , suatu relasi tak bisa mempunyai  kedua sifat itu jika dia punya atau memiliki pasangan berurutan atau terurut dengan bentuk

 (a, b) yang mana a ≠ b.

example: 

Misal R adalah sebuah relasi di himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :

e R f  bila  & hanya jika e – f ∈ Y.

Memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat simetri !

Misal e R f  jadi/ maka (e – f) ∈ Y, Sementara  (f – e) ∈ Z.

Dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat simetri.

Example : 

Buktikan bila relasi  ‘≤’ adalah himpunan Z.  Yang bersifat anti simetri

Jadi jika e ≤ f dan f ≤ e berarti e = f.

Hasilnya adalah  ‘≤’ menjadi/ memiliki sifat anti simetri.

3. Transitif (transitive)

Sebuah atau suatu relasi atau hubungan  R pada himpunan E mempunyai sifat transitif bila

(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

example :

Misal E  = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi  dapat diartikan bila :

e R f  jikalau & hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E

Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang terdapat pada himpunan E, jadi :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Dan Bila (2, 4) ∈ R & (4, 8 ) ∈ R terbukti bila  (2, 8 ) ∈ R.

Dan relasi  R memiliki sifat transitif.

Example : 

R adalah relasi yang ada pada himpunan bilangan Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:

R : E + f = 5, e, f ∈ E,

Dengan mengikuti relasi R pada himpunan E, jadi:

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Buktikan bila  (1, 4) ∈ R & (4, 1) ∈ R , terapi (1, 1) ∉ R.

Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak memiliki sifat transitif.

Sifat transitif memiliki beberapa ciri didalam pembuktian satu relasi , misalkan, sifat transitif di graf yang terarah dinyatakan seperti:

Bila  ada  satu/ sebuah busur dari e ke f dan busur dari f  ke g, jadi  juga memiliki sebuah busur

Berarah/ diarahkan dari e ke g.

Dan saat/ bila  menyajikan suatu relasi transitif didalam bentuk matriks, sebuah relasi transitif tidak memiliki satu ciri khusus di matriksnya.

Read More →

Penjelasan Induksi Matematika Diskrit

Induksi Matematika itu adalah cara atau sebagai pembuktian sebuah pernyataan tertentu,  diberlakukan untuk bilangan asli. Pembuktiannya terdiri dari 2 cara seperti,

Menunjukkan jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

Menunjukkan kalau pernyataan itu diberlakukan untuk bilangan n, maka pernyataan untuk itu berlaku juga untuk bilangan n + 1.

Prinsip Induksi yang Sederhana

Induksi Matematika ini bisa kita artikan seperti ini

Misal untuk setiap bilangan Real N kita memiliki pernyataan P(n) yg hasilnya bisa benar (true) atau salah (false).

Misal>>

P(1)  kita nyatakan sebagai true (benar).

Jika P(n) adalah true (benar), maka P(n + 1) hasilnya juga true (benar)

jadinya P(n) true (benar) untuk setiap bilangan Real (asli) n.

Langkah pertama kita sebut sebagai Langkah Dasar, sedangkan Langkah kedua kita sebut sebagai Langkah Induktif.

Contoh 1

menggunakana induksi matematika untuk mengetes atau mengetahui jikalau jumlah n adalah bilangan ganjil, bilangan + positih pertama adalah n2.

Mari kita buktikan:

1.  Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah 1  bilangan ganjil positif pertama adalah 19 = 1. Hasilnya menjadi true (benar) krn jumlah 1 bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

cara induksi:

jikalau p(n) adalah true (benar), seperti

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

adalah true (benar )>>>(hipotes dari induksi)

[perlu digaris bawahi jika bilangan ganjil positif ke-n adalah (

2n – 1)]

Kita juga harus membuktikan jika p(n +1) hasilnya adalah true (benar) seperti,

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

Adalah benar. Hal ini dapat kita buktikan spt dibawah ini:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n2 + (2n + 1)

= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Krn langkah basis & langkah induksi ke2 telah diketahui jika hasilnya true (benar) jadi jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

Prinsip Induksi yang Dirapatkan atau dipadatkan.

Misal p(n) adalah pernyataan tentang bilangan bulat & kita ingin mengetahui lebih lanjut jika  p(n) hasilnya true (benar) untuk semua bilangan bulat  n3 n0. Untuk membuktikan,kita hanya perlu tahu jika:

p(n0)  hasilnya true (benar), & untuksemua bilangan bulat  n3 n0,

jika p(n) dinyatakan true (benar) maka p(n+1) juga hasilnya true  (benar)

Contoh>>

Untuk semua bilangan bulat bukan-negatif n, kita buktikan dengan induksi matematik jika

30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1

Cara menyelesaikan:

1>Basis induksi.

Untuk n = 0 (bukanlah bil bulat  neg pertama), kita memiliki:

30 = 30+1 – 1

Ini jelas benar, sebab  

30 = 1  

= 30+1 – 1

= 31 – 1

= 3– 1

= 1

2>Langkah induksi.

Jikalau untuk semua bilangan bulat Bukanlah-negatif  n,

30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1 

Kita nyatakan benar (hipotes induksi). Kita harus membuktikan bila,

30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1

Hasilnya sama benar atau true. Kita buktikan sebagai berikut:

30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = (30 + 31 + 32 + … + 2n) + 2n+1

= (2n+1 – 1) + 2n+1 (adalah H induksi)

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2 . 2n+1) – 1

= 2n+2 – 1

= 2(n+1) + 1 – 1

Karena langkah pertama dan keduanya menyatakan hasilnya true (benar), jadi untuk semua bilangan bulat bukanlah-negatif n, karena telah kita buktikan jika

 30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1

Read More →